Một số sai lầm phổ biến
Chỉ ra một số sai lầm phổ biến, cô Hà cho biết, học sinh thường hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp... Trong quá trình học chủ đề Đại số tổ hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa.
Học sinh thường phát biểu: ‘Tổ hợp chập k của n là Ckn’’ mà phát biểu đúng là: ''Số tổ hợp chập k của n là Ckn’’ hoặc ‘Chỉnh hợp chập k của n là Akn’’ mà phát biểu đúng là: ''Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Akn ”.
Cũng có những học sinh áp dụng công thức rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức.
Bên cạnh đó, học sinh còn hiểu sai khái niệm cơ bản toán học. Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm.
Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới.
Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất yếu là học sinh giải toán sai.
Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”.
Chẳng hạn, các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ cái có mặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} (Có 8 phần tử khác nhau).
Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái (10 phần tử).
Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải toán tổ hợp.
Sai lầm tiếp theo do học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên dẫn đến sai lầm khi giải toán.
Cô Hà cho biết, phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp. Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hóa bài toán giúp học sinh giải bài tập một cách chính xác.
Tuy nhiên, để có thể phân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân thì phân chia thành các công đoạn thích hợp, còn nếu là quy tắc cộng thì phân chia thành các tập hợp con.
Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán. Để phân chia một khái niệm thành những khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự phân chia.
Một số cách khắc phục sai lầm
Để khắc phục những sai lầm của học sinh khi học nội dung kiến thức này, cô Hà cho rằng, giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính xác cho từng bài toán.
Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung chung mà phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính xác và thuyết phục.
Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm, và việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng.
Sau khi học sinh trình bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải chính xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày càng tiến bộ hơn.
Bên cạnh đó, trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học bất kỳ một môn học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh hệ thống khái niệm.
Đó là nền tảng toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học.
Muốn làm được bài tập, điều quan trọng nhất là học sinh phải nắm vững những kiến thức liên quan đến bài tập đó. Tức là những khái niệm, định lý, quy tắc.
Học tốt các khái niệm toán chính là điều kiện cơ bản để đảm bảo tư duy toán học chính xác, nếu không học tốt khái niệm, định lý sẽ là nguyên nhân mất gốc dẫn đến sai lầm khi giải bài tập toán.
Về mặt kỹ năng, cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải các bài tập toán đếm.
Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các phương án là phân biệt, tức là mỗi cách thực hiện công việc thuộc một và chỉ một phương án. Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng tổng số phần tử của các tập hợp không giao nhau.
Trong quy tắc nhân đã phát biểu: Với mỗi cách thực hiện ở công đoạn Ai thì công đoạn tiếp theo Ai+1 có thể làm theo ni+1 cách. Như vậy, số cách thực hiện ở công đoạn tiếp theo Ai+1 luôn bằng ni+1 không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại.
Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được:
Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp.
Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử, hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp đó. Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp.
Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp.
Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp.
Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm.
Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp:
Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới.
Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra, việc thay đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới.
Hướng dẫn học sinh giải bài toán gián tiếp
Cô Hà cho biết, một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm ra phương pháp giải toán cho một lớp bài toàn.
G.Pôlya đưa ra 4 bước quan trọng cho việc đi tìm đến lời giải của bài toán: Tìm hiểu nội dung bài toán; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Khi dạy về quy tắc cộng và quy tắc nhân, trong các bài toán đếm phức tạp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chuyển về giải bài toán gián tiếp:
Trong một số bài toán đếm, nếu số phần tử của tập E có tính chất A là khó đếm nhưng việc đếm số phần tử của E không có tính chất A dễ hơn thì ta nên dùng bài toán gián tiếp, tức là đếm số phần tử của E không có tính chất A, sau đó tính số phần tử của tập E có tính chất A bằng số phần tử của tập E trừ đi số phần tử của tập E không có tính chất A.
Nếu là bài toán chuẩn của dạng đã biết thì hãy sử dụng quy tắc đã biết để giải.
Nếu bài toán là không chuẩn thì cần hành động theo 2 hướng: Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn hoặc diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán đến một bài toán có dạng chuẩn.
"Nhiều học sinh cũng biết cách chuyển về bài toán gián tiếp nhưng trong quá trình chuyển đổi thì lại gặp sai sót. Giáo viên cần đưa ra những ví dụ dễ gặp những sai sót và hướng dẫn học sinh giải cẩn thận" - Cô Hà lưu ý thêm.